Corrigé 7 - Loi de vitesse d’ordre 1

Q1. `"RCl"` est un réactif de la transformation, sa concentration en quantité de matière doit diminuer au cours du temps ; la courbe 1 est donc associée à ce réactif. La courbe2 est donc associée à l'ion oxonium.

Remarque : on aurait pu dire que l'ion oxonium étant un produit de la réaction, sa concentration en quantité de matière doit augmenter au cours du temps ; par conséquent, la courbe 2 est associée à ce produit.

Q2. Si on regarde la courbe 1 associée à `"RCl"`, on remarque que la concentration finale de cette espèce est nulle. Donc `"RCl"` est le réactif limitant, et cette transformation est totale.

Q3. Le temps de demi-réaction est la durée nécessaire pour que l'avancement de la réaction atteigne la moitié de sa valeur finale.

Q4. Comme on a \(\text {[RCl]}_\text {f}=0\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}\), on se place à \(\text {[RCl]}(t_{ 1/2})=\frac{\text {[RCl]}_\text {i}}{2}\), soit à \(\text {[RCl]}(t_{ 1/2})=\frac{\text {0,046}\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}}{2}=\text {0,023}\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\), pour trouver `t_"1/2"`.

Par lecture graphique, on a \(t_{ 1/2}=1\ 250 \text { s}\).

Remarque : on aurait pu utiliser la courbe 2 et se placer à \([\text {H}_3\text {O}^+](t_{ 1/2})=\frac{[\text {H}_3\text {O}^+]_\text {f}}{2}\). 

Q5. La vitesse volumique de disparition du chlorure de tertiobutyle à un instant \(t\) est par définition \(v_\text {RCl}(t)=-\frac{\text d[\text{RCl}](t)}{\text dt}\).

Q6. En traçant des tangentes à la courbe 1, on remarque que les coefficients directeurs de ces dernières sont négatifs et que leur valeur croît avec le temps.

Or, les valeurs des coefficients directeurs de ces tangentes sont égales aux valeurs des nombres dérivés \(\frac{\text d[\text{RCl}](t)}{\text dt}\) aux différents instants \(t\), donc \(\frac{\text d[\text{RCl}](t)}{\text dt}\) augmente au cours du temps, donc \(v_\text {RCl}(t)\) diminue au cours du temps.

Q7. Comme on a \(v_\text {RCl}(t)= \text{k}\cdot\text [\text{RCl}](t)\), la vitesse volumique de disparition et la concentration en quantité de matière sont proportionnelles entre elles. La courbe représentant \(v_\text {RCl}(t)= f[\text{RCl}](t)\) est donc une droite croissante passant par l'origine du repère.

Q8. \(v_\text {RCl}(t)=-\frac{\text d[\text{RCl}](t)}{\text dt}\) et \(v_\text {RCl}(t)= \text{k}\cdot\text [\text{RCl}](t)\). En égalisant les deux expressions précédentes, il vient \(-\frac{\text d[\text{RCl}](t)}{\text dt}= \text{k}\cdot\text [\text{RCl}](t)\), soit l'équation différentielle suivante :\(\frac{\text d[\text{RCl}](t)}{\text dt}+ \text{k}\cdot\text [\text{RCl}](t)=0\).

Q9. La solution de l'équation différentielle précédente est de la forme \(\text [\text{RCl}](t)=A\cdot\text{e}^{-k\cdot t}+\frac{0}{k}\).
À \(t=0\), on a  \(\text [\text{RCl}]\text {(0)}=\text [\text{RCl}]_{0}\) et \(\text [\text{RCl}]\text {(0)}=A\cdot\text{e}^{k\cdot 0}=A\), donc \(A=\text [\text{RCl}]_{0}\). Ainsi, si la concentration en chlorure de tertiobutyle suit une loi de vitesse d'ordre 1, alors on doit avoir : \(\text [\text{RCl}]\text {(t)}=\text [\text{RCl}]_0\cdot\text{e}^{k\cdot t}\).

Q10. Par construction graphique, on a \(a=\frac{- 3,5 - ( - 3,1)}{\text{700} \text{ s } - 0 \text{ s }}=-5,7\times10^{-4} \text{s}^{-1}\).

Q11. On a \(t_{ 1/2}=\frac{\text{ln(2)}}{\text{k}}=\frac{\text{ln(2)}}{\text{-a}}\), soit \(t_{ 1/2}=\frac{\text{ln(2)}}{-(-5,7\times10^{-4} \text{s}^{-1})}=\text{1,2}\times10^{3}\text{s}\).

Cette valeur est proche de la valeur trouvée à la question 4, mais différente car elle n'est pas obtenue avec la même méthode, donc pas associée à la même incertitude-type.